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(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解,其中a为常数; (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解.
(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解; (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数; (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解,其中a为常数; (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解.
admin
2017-10-23
63
问题
(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=
的特解;
(Ⅱ)求y"+a
2
y=8cosbx的通解,其中a>0,b>0为常数;
(Ⅲ)求y"+4y’+4y=e
x
的通解,其中a为常数;
(Ⅳ)求y"+y=x
3
一x+2的通解.
选项
答案
(Ⅰ)对应齐次微分方程的特征方程为λ
2
一7λ+12=0,它有两个互异的实根λ
1
=3与λ
2
=4,所以其通解为 [*](x)=C
1
e
3x
+C
2
e
4x
,其中C
1
与C
2
是两个任意常数. 由于0不是特征根,所以非齐次微分方程的特解应具有形式y
*
(x)=Ax+B.代入方程可得A=[*]+C
1
e
3x
+C
2
e
4x
. [*] (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai,所以其通解为[*](x)=C
1
cosax+C
2
sinax.求原非齐次微分方程的特解,需分两种情况讨论: ①当a≠b时,特解的形式应为Aeosbx+Bsinbx,将其代入原方程可得 A=[*],B=0. 所以通解为y(x)=[*]cosbx+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
与C
2
是两个任意常数. ②当a=b时,特解的形式应为Axeosax+Bxsinax,代入原方程可得 A=0.B=[*]. 所以原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C
1
cosax+C
2
sinax,其中C
1
与C
2
是两个任意常数. (Ⅲ)特征方程是λ
2
+4λ+4=0,它有相等二实根λ
1
=λ
2
=一2,所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C
1
+C
2
x)e
—2x
.非齐次微分方程的特解的形式与a是不是特征根有关. 若a≠一2,则应设特解为y
*
(x)=Ae
ax
,其中A是待定系数.代入方程可得 A(a
2
+4a+4)e
ax
=e
ax
→[*], 所以,当a≠一2时通解为y(x)=(C
1
+C
2
x)e
—2x
+[*],其中C
1
与C
2
是两个任意常数. 若a=一2,由于它是重特征根,则应设特解为y
*
=Ax
2
e
—2x
,其中A是待定系数.代入方程可得 A[(2—8x+4x
2
)+4(2x一2x
2
)+4x
2
]e
—2x
=e
—2x
,即 2Ae
—2x
=e
—2x
. 于是可得出A=[*].所以,当a=一2时通解为y(x)=(C
1
+C
2
x+[*]x
2
)e
—2x
(其中C
1
与C
2
是两个任意常数). (Ⅳ)方程的自由项是三次多项式f(x)=x
3
一x+2,方程的特征根满足
2
+1=0,从而是共轭复根λ=i和λ=一i.所以,对应齐次微分方程的通解是[*](x)=C
1
cosx+C
2
sinx,而非齐次微分方程的特解可取为y
*
(x)=Ax
3
+Bx
2
+Cx+D,代入方程可得待定常数A,B,C,D应满足 Ax
3
+Bx
2
+(6A+C)x+2B+D=x
3
一x+2, 由此可确定A=1,B=0,C=一7,D=2.所以原方程的通解为 y(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+x
3
一7x+2,其中C
1
与C
2
是两个任意常数.
解析
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考研数学三
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