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  3. [2010年] 设P为椭球面S：x2+y2+z2一yz=1上的动点．若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分．

[2010年] 设P为椭球面S：x2+y2+z2一yz=1上的动点．若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分．

admin2019-04-08  105
问题 [2010年]  设P为椭球面S：x2+y2+z2一yz=1上的动点．若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分．
选项
答案(1)令F(x，y，z)=x2+y2+z2一yz一1为椭球面S的方程，设点P的坐标为(x，y，z)． 由题设条件知，曲面在点P处的切平面法向量为 n1=(F’x，F’y，F’z)=(2x，2y—z，2z—y)． 又xOy平面的法向量为，n2=(0，0，1)，因点P处的切平面垂直于xOy平面，于是，n1⊥n2，即n1·n2=0，故y=2z，此为点P的坐标所满足的一个方程． 又因点P在曲面S上，所以点P的坐标满足曲面S的方程x2+y2+z2一yz=1，于是动点P的轨迹方程为 [*] 为简化起见，将z=y／2代入第一式可得轨迹C的方程为 [*] (它是椭圆柱面与平面的交线) (2)下面计算曲面积分，为此将曲面积分转化为二重积分．先将被积表达式化简． 由题设知，曲面积分[*]中积分曲面∑是椭球面S位于曲线C上方的部分，即位于平面y=2z上方的部分，因此在∑上有y≤2z．于是｜y一2z｜=2z一y，即 [*] 在曲面∑的方程x2+y2+z2一yz=1两端分别对x，y求偏导数(此时z=z(x，y))，得到 [*] 将曲面∑向xOy面投影，得投影区域Dxy={(x，y)｜x2+(3／4)y2≤1}．又因 [*] 故 [*]
解析
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考研数学一

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