[2010年] 设P为椭球面S:x2+y2+z2一yz=1上的动点.若S在点P处的切平面与xOy面垂直,求点P的轨迹C,并计算曲面积分,其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分.

admin2019-04-08  53

问题 [2010年]  设P为椭球面S:x2+y2+z2一yz=1上的动点.若S在点P处的切平面与xOy面垂直,求点P的轨迹C,并计算曲面积分,其中∑是椭球面S位于曲线C上方的部分.

选项

答案(1)令F(x,y,z)=x2+y2+z2一yz一1为椭球面S的方程,设点P的坐标为(x,y,z). 由题设条件知,曲面在点P处的切平面法向量为 n1=(F’x,F’y,F’z)=(2x,2y—z,2z—y). 又xOy平面的法向量为,n2=(0,0,1),因点P处的切平面垂直于xOy平面,于是,n1⊥n2,即n1·n2=0,故y=2z,此为点P的坐标所满足的一个方程. 又因点P在曲面S上,所以点P的坐标满足曲面S的方程x2+y2+z2一yz=1,于是动点P的轨迹方程为 [*] 为简化起见,将z=y/2代入第一式可得轨迹C的方程为 [*] (它是椭圆柱面与平面的交线) (2)下面计算曲面积分,为此将曲面积分转化为二重积分.先将被积表达式化简. 由题设知,曲面积分[*]中积分曲面∑是椭球面S位于曲线C上方的部分,即位于平面y=2z上方的部分,因此在∑上有y≤2z.于是|y一2z|=2z一y,即 [*] 在曲面∑的方程x2+y2+z2一yz=1两端分别对x,y求偏导数(此时z=z(x,y)),得到 [*] 将曲面∑向xOy面投影,得投影区域Dxy={(x,y)|x2+(3/4)y2≤1}.又因 [*] 故 [*]

解析
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