[2012年]设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1,2,3),则有( ).

admin2019-04-05  37

问题 [2012年]设Ik=∫0ex2sinxdx(k=1,2,3),则有(  ).

选项 A、I1<I2<I3
B、I3<I2<I1
C、I2<I3<I1  
D、I2<I1<I3

答案D

解析 先比较I1,I2,I3中任意两个的大小,然后判别正确选项.
由题设有I1=∫0πex2sinxdx,I2=∫0ex2sinxdx,I3=∫0ex2sinx dx.
因  I2一I1=∫0ex2sinxdx=∫0πex2sinx dx=∫πex2sinx dx<0(因sinx<0),
故I1>I1
因  I3一I2=∫0ex2sinxdx—∫0ex2sinx dx=∫e3x2sinxdx>0(因sinx>0),
故I3>I2
I3一I1=∫0ex2sinx dx一∫0πex2sinxdx=∫πex2sinx dx.
因    I3-I1πe(y+2π)2sin(y+2π)dy=∫πe(y-2π)2siny dy
=∫0e(y+2π)2sinydy+∫0πe(y+2π)2sinydy,
而    ∫0e(y+2π)2sinydyπ0e(2π-t)2sindt=一∫0πe(2π-t)2sintdt,
又    e(y+2π)2siny>e(2π-y)2siny=e(2π-t)2sint  (0<y<π),
故I3一I1>0,所以I3>I1>I2.仅(D)入选.
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