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[2012年]设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1,2,3),则有( ).
[2012年]设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1,2,3),则有( ).
admin
2019-04-05
54
问题
[2012年]设I
k
=∫
0
kπ
e
x
2
sinxdx(k=1,2,3),则有( ).
选项
A、I
1
<I
2
<I
3
B、I
3
<I
2
<I
1
C、I
2
<I
3
<I
1
D、I
2
<I
1
<I
3
答案
D
解析
先比较I
1
,I
2
,I
3
中任意两个的大小,然后判别正确选项.
由题设有I
1
=∫
0
π
e
x
2
sinxdx,I
2
=∫
0
2π
e
x
2
sinxdx,I
3
=∫
0
3π
e
x
2
sinx dx.
因 I
2
一I
1
=∫
0
2π
e
x
2
sinxdx=∫
0
π
e
x
2
sinx dx=∫
π
2π
e
x
2
sinx dx<0(因sinx<0),
故I
1
>I
1
.
因 I
3
一I
2
=∫
0
3π
e
x
2
sinxdx—∫
0
2π
e
x
2
sinx dx=∫
2π
3π
e
3x
2
sinxdx>0(因sinx>0),
故I
3
>I
2
.
I
3
一I
1
=∫
0
3π
e
x
2
sinx dx一∫
0
π
e
x
2
sinxdx=∫
π
3π
e
x
2
sinx dx.
因 I
3
-I
1
∫
-π
π
e
(y+2π)
2
sin(y+2π)dy=∫
-π
π
e
(y-2π)
2
siny dy
=∫
-π
0
e
(y+2π)
2
sinydy+∫
0
π
e
(y+2π)
2
sinydy,
而 ∫
-π
0
e
(y+2π)
2
sinydy
∫
π
0
e
(2π-t)
2
sindt=一∫
0
π
e
(2π-t)
2
sintdt,
又 e
(y+2π)
2
siny>e
(2π-y)
2
siny=e
(2π-t)
2
sint (0<y<π),
故I
3
一I
1
>0,所以I
3
>I
1
>I
2
.仅(D)入选.
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考研数学二
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