[2012年]设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1，2，3)，则有( )．

admin2019-04-05 46

问题 [2012年]设I_k=∫₀^kπe^x²sinxdx(k=1，2，3)，则有( )．

选项 A、I₁＜I₂＜I₃
B、I₃＜I₂＜I₁
C、I₂＜I₃＜I₁
D、I₂＜I₁＜I₃

答案D

解析先比较I₁，I₂，I₃中任意两个的大小，然后判别正确选项．
由题设有I₁=∫₀^πe^x²sinxdx，I₂=∫₀^2πe^x²sinxdx，I₃=∫₀^3πe^x²sinx dx．
因 I₂一I₁=∫₀^2πe^x²sinxdx=∫₀^πe^x²sinx dx=∫_π^2πe^x²sinx dx＜0(因sinx＜0)，
故I₁＞I₁．
因 I₃一I₂=∫₀^3πe^x²sinxdx—∫₀^2πe^x²sinx dx=∫_2π^3πe^3x²sinxdx＞0(因sinx＞0)，
故I₃＞I₂．
I₃一I₁=∫₀^3πe^x²sinx dx一∫₀^πe^x²sinxdx=∫_π^3πe^x²sinx dx．
因 I₃－I₁

∫_-π^πe^(y+2π)²sin(y+2π)dy=∫_-π^πe^(y-2π)²siny dy
=∫_-π⁰e^(y+2π)²sinydy+∫₀^πe^(y+2π)²sinydy，
而 ∫_-π⁰e^(y+2π)²sinydy

∫_π⁰e^(2π－t)²sindt=一∫₀^πe^(2π－t)²sintdt，
又 e^(y+2π)²siny＞e^(2π－y)²siny=e^(2π－t)²sint (0＜y＜π)，
故I₃一I₁＞0，所以I₃＞I₁＞I₂．仅(D)入选．

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考研数学二

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