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  3. 已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．

已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．

admin2017-05-18  26
问题 已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数)，且fn(1)=，则级数fn(x)的和为________．
选项
答案-exln(1-x)，x∈[-1，1)
解析 本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数．首先求一阶微分方程的解．
由已知条件知fn(x)满足的微分方程可写成

    这是一阶线性微分方程的初值问题，可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解，也可以用下面简便方法：
    将方程两边乘以e-x，得
    f’n(x)e-x-e-xfn(x)=xn-1，
于是    [fn(x)e-x]’=xn-1，
等式两边积分，得    fn(x)e-x=∫xn-1dx，
即    fn(x)ex=xn+C，
fn(x)=ex
由fn(1)=，得C=0．故fn(x)=xnex．
其次求级数fn(x)的和．

令s(x)=，则

等式两边从0到x积分，得

即    s(x)=-ln(1-x)，    x∈(-1，1)．
因为当x=-1时，s(x)=-ln(1-x)连续，而收敛，所以
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