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已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=,则级数fn(x)的和为________.
已知fn(x)满足微分方程f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n为正整数),且fn(1)=,则级数fn(x)的和为________.
admin
2017-05-18
34
问题
已知f
n
(x)满足微分方程f’
n
(x)=f
n
(x)+x
n-1
e
x
(n为正整数),且f
n
(1)=
,则级数
f
n
(x)的和为________.
选项
答案
-e
x
ln(1-x),x∈[-1,1)
解析
本题主要考查一阶微分方程的解与幂级数的和函数.首先求一阶微分方程的解.
由已知条件知f
n
(x)满足的微分方程可写成
这是一阶线性微分方程的初值问题,可以用一阶线性微分方程的通解公式求其通解,也可以用下面简便方法:
将方程两边乘以e
-x
,得
f’
n
(x)e
-x
-e
-x
f
n
(x)=x
n-1
,
于是 [f
n
(x)e
-x
]’=x
n-1
,
等式两边积分,得 f
n
(x)e
-x
=∫x
n-1
dx,
即 f
n
(x)e
x
=
x
n
+C,
f
n
(x)=e
x
由f
n
(1)=
,得C=0.故f
n
(x)=
x
n
e
x
.
其次求级数
f
n
(x)的和.
令s(x)=
,则
等式两边从0到x积分,得
即 s(x)=-ln(1-x), x∈(-1,1).
因为当x=-1时,s(x)=-ln(1-x)连续,而
收敛,所以
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