设f(x)在[a,b]上可导,F(x)=f(x)-x,若F(x)在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则( )

admin2022-04-27  62

问题 设f(x)在[a,b]上可导,F(x)=f(x)-x,若F(x)在x=a处取得最小值,在x=b处取得最大值,则(          )

选项 A、f’+(a)<1且f’-(b)<1.
B、f’+(a)>1且f’-(b)<1.
C、f’+(a)≥1且f’-(b)≥1.
D、f’+(a)<1且f’-(b)>1.

答案C

解析 用反证法.假设f’+(a)<1,则

故由极限的保号性,可知F(x)<F(a).这与F(x)在x=a处取得最小值矛盾.同理,若f’-(6=b)<1,则F(x)在x=b处不可能取得最大值.故C正确.
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