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已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=,f(1)=1.证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=,f(1)=1.证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
admin
2016-06-27
101
问题
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=,f(1)=1.证明:
(1)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;
(2)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.
选项
答案
(1)令F(x)=f(x)一1+x,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=一1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即f(ξ)=1一ξ. (2)在[0,ξ]和[ξ,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理知,存在两个不同的点η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*]
解析
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考研数学三
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