2. 考研
  3. 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=,f(1)=1．证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=,f(1)=1．证明： (1)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ； (2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

admin2016-06-27  139
问题 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=,f(1)=1．证明：
(1)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；
(2)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．
选项
答案(1)令F(x)=f(x)一1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ． (2)在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理知，存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得 [*]
解析
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考研数学三

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