[2008年] 设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

admin2019-05-10 48

问题 [2008年] 设A=

，则在实数域上与A合同的矩阵为( )．

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析可用多种方法(利用命题2．6．3．1、命题2．6．3．2)判别．
解一令

由 ∣λE—A∣=

=(λ一1)²一4=λ²一2λ－3=(λ一3)(λ+1)=0，得A的特征值λ₁=3，λ₂=一1，即A的正、负惯性指数都为1，于是∣A∣=λ₁λ₂＜0，但∣A₁∣＞0，
∣A₂∣＞0，∣A₃∣＞0，可见(A)，(B)，(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不合同，因而A₁，
A₂，A₃与A都不合同．仅(D)入选．
解二因∣λE－A₄∣=

=(λ一1)²一4=∣λE－A∣，等同于A与A₄的特征值相同且其系数也相同，故A与A₄相似，又A与A₄为同阶实对称矩阵，由命题2．6．3．2知A与A₄必合同．仅(D)入选．

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考研数学二

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