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[2008年] 设A=,则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
[2008年] 设A=,则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
admin
2019-05-10
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问题
[2008年] 设A=
,则在实数域上与A合同的矩阵为( ).
选项
A、
B、
C、
D、
答案
D
解析
可用多种方法(利用命题2.6.3.1、命题2.6.3.2)判别.
解一 令
由 ∣λE—A∣=
=(λ一1)
2
一4=λ
2
一2λ-3=(λ一3)(λ+1)=0,得A的特征值λ
1
=3,λ
2
=一1,即A的正、负惯性指数都为1,于是∣A∣=λ
1
λ
2
<0,但∣A
1
∣>0,
∣A
2
∣>0,∣A
3
∣>0,可见(A),(B),(C)中矩阵的正、负惯性指数与A的都不合同,因而A
1
,
A
2
,A
3
与A都不合同.仅(D)入选.
解二 因∣λE-A
4
∣=
=(λ一1)
2
一4=∣λE-A∣,等同于A与A
4
的特征值相同且其系数也相同,故A与A
4
相似,又A与A
4
为同阶实对称矩阵,由命题2.6.3.2知A与A
4
必合同.仅(D)入选.
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考研数学二
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