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设函数f(χ)可导且0≤f′(χ)≤(k>0),对任意的χn,作χn+1=f(χn)=(n=0,1,2,…),证明:χn存在且满足方程f(χ)=χ.
设函数f(χ)可导且0≤f′(χ)≤(k>0),对任意的χn,作χn+1=f(χn)=(n=0,1,2,…),证明:χn存在且满足方程f(χ)=χ.
admin
2019-08-12
40
问题
设函数f(χ)可导且0≤f′(χ)≤
(k>0),对任意的χ
n
,作χ
n+1
=f(χ
n
)=(n=0,1,2,…),证明:
χ
n
存在且满足方程f(χ)=χ.
选项
答案
χ
n+1
-χ
n
=f(χ
n
)=f(χ
n-1
)-f′(χ
n
)(χ
n
-χ
n-1
),因为f′(χ)≥0,所以χ
n+1
-χ
n
与χ
n
-χ
n-1
同号,故{χ
n
}单调. [*] 即{χ
n
}有界,于是[*]χ
n
存在, 根据f(χ)的可导性得f(χ)处处连续,等式χ
n+1
=f(χ
n
) 两边令n→∞,得[*],原命题得证.
解析
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考研数学二
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