设f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=1／2arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx．

admin2018-05-21 75

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x－t)dt=1／2arctanx²，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx．

选项

答案由∫_x^2xtf(2x－t)dt[*]∫_2x^x(2x－u)f(u)(－du) =∫_x^2x(2x－u)f(u)du=2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du 得2x∫_x^2xf(u)du－∫_x^2xuf(u)du=1／2arctanx²，等式两边对x求导得 2∫_x^2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－4xf(2x)+xf(x)=[*]，整理得 2∫_x^2xf(u)du－xf(x)=[*] 取x=得2∫₁²²f(u)du－f(1)=1／2，故∫₁²f(x)dx=3／4．

解析

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考研数学一

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