设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx.

admin2018-05-21  25

问题 设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=1/2arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx.

选项

答案由∫x2xtf(2x-t)dt[*]∫2xx(2x-u)f(u)(-du) =∫x2x(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du 得2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du=1/2arctanx2,等式两边对x求导得 2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)-f(x)]-4xf(2x)+xf(x)=[*],整理得 2∫x2xf(u)du-xf(x)=[*] 取x=得2∫122f(u)du-f(1)=1/2,故∫12f(x)dx=3/4.

解析
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