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设f(χ)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f′(0)=1,f〞(χ)≥0.证明:f(χ)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根.
设f(χ)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f′(0)=1,f〞(χ)≥0.证明:f(χ)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根.
admin
2019-03-21
63
问题
设f(χ)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f′(0)=1,f〞(χ)≥0.证明:f(χ)=0在(0,+∞)内有且仅有一个根.
选项
答案
因为f〞(χ)≥0,所以f′(χ)单调不减,当χ>0时,f′(χ)≥f′(0)=1. 当χ>0时,f(χ)-f(0)=f′(ξ)χ,从而f(χ)≥f(0)+χ,因为[*][f(0)+χ]=+∞, 所以[*]f(χ)=+∞. 由f(χ)在[0,+∞)上连续,且f(0)=-2<0,[*]f(χ)=+∞,则f(χ)=0在(0,+∞)内至少有一个根,又由f′(χ)≥1>0,得方程的根是唯一的.
解析
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考研数学二
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