设f(χ)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝－2，f′(0)＝1，f〞(χ)≥0．证明：f(χ)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．

admin2019-03-21 38

问题设f(χ)在[0，＋∞)内二阶可导，f(0)＝－2，f′(0)＝1，f〞(χ)≥0．证明：f(χ)＝0在(0，＋∞)内有且仅有一个根．

选项

答案因为f〞(χ)≥0，所以f′(χ)单调不减，当χ＞0时，f′(χ)≥f′(0)＝1．当χ＞0时，f(χ)－f(0)＝f′(ξ)χ，从而f(χ)≥f(0)＋χ，因为[*][f(0)＋χ]＝＋∞，所以[*]f(χ)＝＋∞．由f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＝－2＜0，[*]f(χ)＝＋∞，则f(χ)＝0在(0，＋∞)内至少有一个根，又由f′(χ)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

解析

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考研数学二

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