设z=xf(y/x)+yg(x/y)，其中f，g二阶可导，证明：

admin2021-10-18 30

问题设z=xf(y/x)+yg(x/y)，其中f，g二阶可导，证明：

选项

答案dz/dx=f(y/x)-y/xf’(y/x)+g’(x/y)，dz/dy=f’(y/x)+g(x/y)-x/y g’(x/y)，d²z/dx²=-y/x²f’(y/x)+y/x²f’(y/x)+y²/x³f"(y/x)+1/yg"(x/y)=y³/x³f"(y/x)+1/yg"(x/y)，d²z/dy²=1/xf"(y/x)-x/y²g’(x/y)+x/y²g’(x/y)+x²/y³g"(x/y)=1/xf"(y/x)+x²/y³g"(x/y)，故x²d²z/dx²-y²d²z/dy²=y²/xf"(y/x)+x²/yg"(x/y)-y²/xf"(y/x)-x²/yg"(x/y)=0．

解析

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