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  3. 设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。

admin2019-01-19  109
问题 设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案因为t|t|为奇函数，可知其原函数 f(x)=∫-1xt|t|dt=∫-10t|t|dt+∫0xt|t|dt 为偶函数，因此由f(一1)=0，得f(1)=0，即y=f(x)与x轴有交点(一1，0)，(1，0)。 又由f＇(x)=x|x|，可知x<0时f＇(x)<0，故f(x)单调减少，从而f(x)0时f＇(x)=x|x|>0，故x>0时f(x)单调增加，且y=f(x)与x轴有唯一交点(1，0)。 因此y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A=∫-11|f(x)dx=2∫-10|f(x)|dx。 当x<0时f(x)=∫-1xt|t|dt=∫-1x一t2dt=一[*](1+x3)，故 A=2∫-10[*]-(1+x3)dx=[*]
解析
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考研数学三

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