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设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
设f(x)=∫-1xt|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
admin
2019-01-19
108
问题
设f(x)=∫
-1
x
t|t|dt(x≥一1),求曲线y=f(x)与x轴所围封闭图形的面积。
选项
答案
因为t|t|为奇函数,可知其原函数 f(x)=∫
-1
x
t|t|dt=∫
-1
0
t|t|dt+∫
0
x
t|t|dt 为偶函数,因此由f(一1)=0,得f(1)=0,即y=f(x)与x轴有交点(一1,0),(1,0)。 又由f'(x)=x|x|,可知x<0时f'(x)<0,故f(x)单调减少,从而f(x)
0时f'(x)=x|x|>0,故x>0时f(x)单调增加,且y=f(x)与x轴有唯一交点(1,0)。 因此y=f(x)与x轴交点仅有两个。 所以封闭曲线所围面积 A=∫
-1
1
|f(x)dx=2∫
-1
0
|f(x)|dx。 当x<0时f(x)=∫
-1
x
t|t|dt=∫
-1
x
一t
2
dt=一[*](1+x
3
),故 A=2∫
-1
0
[*]-(1+x
3
)dx=[*]
解析
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0
考研数学三
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