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设f(x)在[a,b]上可导,且f’+(a)>0,f’-(b)<0,证明方程f’(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
设f(x)在[a,b]上可导,且f’+(a)>0,f’-(b)<0,证明方程f’(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
admin
2019-08-27
32
问题
设f(x)在[a,b]上可导,且f’
+
(a)>0,f’
-
(b)<0,证明方程f’(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
选项
答案
由[*],可知存在x
0
>0,使a+x
0
∈(a,b)且f(a+x
0
)>f(a). 同理,由[*],可知存在x
1
<0,使f(b+x
1
)-f(b)>0, 即有b+x
1
∈(a,b),使f(b+x
1
)>f(b). 而由f(x)在[a,b]上可导,则f(x)必连续. 由闭区间上连续函数的性质,知f(x)在[a,b]上必有最大点ξ,又由以上证明知ξ≠a和ξ≠b,因ξ必是f(x)的极值点,故有f’(ξ)=0.
解析
【思路探索】由题设条件找到函数f(x)在[a,b]上的最值点即可得结论.
【错例分析】此题若利用f’
+
(a)>0和f’
-
(b)<0以及连续函数的介值定理,即得:存在ξ∈(a,b),使f’(ξ)=0.这是错误的做法.因已知条件中仅告知f(x)的导函数f’(x)存在,并未告知导函数f’(x)是连续的.此题的正确做法就是利用f(x)在区间内的最值点存在.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/noS4777K
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考研数学一
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