设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形； (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列

admin2022-01-06 82

问题设n阶实对称矩阵A满足A²=E，且秩r(A+E)=k＜n．
(Ⅰ)求二次型x^TAx的规范形；
(Ⅱ)证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求行列

选项

答案(Ⅰ)设A为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα，α≠0，则A²α=λ²α 由于A²=E，从而(λ²—1)α=0．又因α≠0，故有λ²—1=0，解得λ=1或λ=一1．因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是 [*] 那么矩阵A的特征值为：1(k个)，一1(n一k个)．故二次型x^TAx的规范形为y₁²+…+y_k²一y_k+1²+1一…一y_n²． (Ⅱ)因为A²=E，故 B=E+A+A²+A³+A⁴=3E+2A．所以矩阵B的特征值是：5(k个)，1(n—k个)．由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且｜B｜=5^k.1^n—k=5^k．

解析

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考研数学二

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设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形； (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列

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