2. 考研
  3. 设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形； (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列

设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n． (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形； (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列

admin2022-01-06  38
问题 设n阶实对称矩阵A满足A2=E，且秩r(A+E)=k＜n．
(Ⅰ)求二次型xTAx的规范形；
(Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求行列
选项
答案(Ⅰ)设A为矩阵A的特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα，α≠0，则A2α=λ2α 由于A2=E，从而(λ2—1)α=0．又因α≠0，故有λ2—1=0，解得λ=1或λ=一1． 因为A是实对称矩阵，所以必可对角化，且秩r(A+E)=k，于是 [*] 那么矩阵A的特征值为：1(k个)，一1(n一k个)． 故二次型xTAx的规范形为y12+…+yk2一yk+12+1一…一yn2． (Ⅱ)因为A2=E，故 B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A． 所以矩阵B的特征值是：5(k个)，1(n—k个)．由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵，因此B是正定矩阵，且｜B｜=5k.1n—k=5k．
解析
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考研数学二

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