已知n阶矩阵A满足(A一aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

admin2017-08-07 65

问题已知n阶矩阵A满足(A一aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

选项

答案首先证明A的特征值只能是a或b．设λ是A的特征值，则(λ一a)(λ一b)=0，即λ=a或λ=b．如果b不是A的特征值，则A一bE可逆，于是由(A一aE)(A一bE)=0推出A—aE=0，即A=aE是对角矩阵．如果b是A的特征值，则|A一bE|=0．设η₁，η₂，…，η_t是齐次方程组(A一bE)X=0的一个基础解系(这里t=n—r(A一bE))，它们都是属于b的特征向量．取A一bE的列向量组的一个最大无关组γ₁，γ₂，…，γ_k，这里k=r(A一bE)．则γ₁，γ₂，…，γ_k是属于a的一组特征向量．则有A的k+t=n个线性无关的特征向量组γ₁，γ₂，…，γ_k；η₁，η₂，…，η_t，因此A可对角化．

解析

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考研数学一

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已知n阶矩阵A满足(A一aE)(A一bE)=0，其中a≠b，证明A可对角化．

考研数学一

(2008年试题，18)设函数f(x)连续.(I)用定义证明F(x)可导。且F’(x)=f(x)；(Ⅱ)设f(x)是周期为2的连续函数，证明也是周期为2的函数．

(2011年试题，三)设随机变量X与y的概率分布本别为且P(X2=Y2)=1求二维随机变量(X，Y)的概率分布；

(2012年试题，三)设二维离散型随机变量X、Y的概率分布为求Cov(X—Y，Y)与ρxy．

(1999年试题，一)设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P，且已知，则P(A)=_________________.

(2005年试题，20)已知二次型f(x1，x2，x3)=(1—a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．求方程f(x1，x2，x3)=0的解．

(2004年试题，三)设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

(2003年试题，十二)设总体X的概率密度为其中θ>0是未知参数，从总体x中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记θ=min(X1，X2，…，Xn)求统计量θ的分布函数Fθ(x)；

(2012年试题，三)设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布N(μ，σ2)与N(μ，2σ2)，其中σ是未知参数且σ>0．设Z=X—Y证明[*]为σ2的无偏估计量．

(1998年试题，十四)从正态总体N(3．4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1．4，5．4)内的概率不小于0．95，问样本容量n至少应取多大?附表：标准正态分布数值表：

(1997年试题七)设B是秩为2的5×4矩阵，α1=[1，1，2，3]T，α2=[一1，1，4，一1]T，α3=[5，一1，一8，9]T，是齐次线性方程组Bx=0的解向量，求Bx=0的解空间的一个标准正交基．

在下列定价方法中，需要使用损益平衡图的是()。

在建设工程项目施工成本管理中，()是实现成本目标责任制的保证和实现决策目标的重要手段。

在理财规划师侵占或窃取客户或其所在机构财产，情节严重的情况下，理财规划师将承担(　　)。

下列各句画横线成语的使用，不恰当的有()。

设f(x)=ax+b(a≠0)，且f(10)=21，若f(2)，f(7)，f(22)成等比数列，则f(1004)=_____________。

经典条件作用的基本内容是()

《道德经》里说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”其表达的观点属于()

设(X，Y)的概率密度为2271，求fX(x)．

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