设x＞0，常数a＞e,证明:(a+x)a＜aa+x.

admin2022-09-05 28

问题设x＞0，常数a＞e,证明:(a+x)^a＜a^a+x.

选项

答案因为y=Inx是单调增加函数,所以欲证明(a+x)^a＜a^a+x,只须证 aln(a+x)<(a+ x)lna 设f(x)= (a+ x)Ina－aln(a+x),则f(x)在[0,+∞)内连续且可导,又有 [*] 因为lna＞1，[*]＜1,故f’(x)＞0,所以函数f(x)在[0,+∞)内单调增加，而f(0)=0,所以 f(x)＞0(0＜x＜+∞)，即alna(a+x)＜(a+x)lna，也即(a+x)^a＜a^a+b。

解析

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考研数学三

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