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考研
n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )
n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )
admin
2019-07-12
47
问题
n阶矩阵A和B具有相同的特征向量是A和B相似的( )
选项
A、充分必要条件.
B、充分而非必要条件.
C、必要而非充分条件.
D、既非充分又非必要条件.
答案
D
解析
根据相似矩阵的定义,由A~B可知,存在可逆矩阵P使P
-1
AP=jB:若Aα=λα,α≠0,
有
B(P
-1
α)=(P
-1
AP)(P
-1
α)=P
-1
Aα=λ(P
-1
α),
即α是A的特征向量,P
-1
α是B的特征向量,即矩阵A与B的特征向量不同.
相反地,若矩阵A与B有相同的特征向量,且它们属于不同的特征值,即
Aα=λα,Bα=μα,λ≠μ
因为矩阵A与B的特征值不同,所以矩阵A和B不可能相似.
所以矩阵A与B有相同的特征向量对于A~B来说是既非充分又非必要,故选D.
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考研数学三
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