设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt．求证： (0，0)是曲线y=F(x)的拐点．

admin2018-06-14 74

问题设f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f’(0)≠0．令F(x)=∫₀^x(2t一x)f(t)dt．
求证：
(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．

选项

答案显然F(0)=0，由f(x)在(一∞，+∞)上有连续导数，且f’(0)≠0知[*]δ＞0使当｜x｜＜δ时f’(x)与f’(0)同号．为确定起见，无妨设f’(0)＞0，于是当｜x｜＜δ时f’(x)＞0．计算可得 F’(x)=2xf(x)一∫₀^xf(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫₀^xf(t)dt， F"(x)=xf’(x)+f(x)一f(x)=xf’(x)[*] 故(0，0)是曲线y=F(x)的拐点．

解析

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考研数学三

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