设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt. 求证: (0,0)是曲线y=F(x)的拐点.

admin2018-06-14  53

问题 设f(x)在(一∞,+∞)上具有连续导数,且f’(0)≠0.令F(x)=∫0x(2t一x)f(t)dt.
  求证:
(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.

选项

答案显然F(0)=0,由f(x)在(一∞,+∞)上有连续导数,且f’(0)≠0知[*]δ>0使当|x|<δ时f’(x)与f’(0)同号.为确定起见,无妨设f’(0)>0,于是当|x|<δ时f’(x)>0.计算可得 F’(x)=2xf(x)一∫0xf(t)dt—xf(x)=xf(x)一∫0xf(t)dt, F"(x)=xf’(x)+f(x)一f(x)=xf’(x)[*] 故(0,0)是曲线y=F(x)的拐点.

解析
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