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设y1=ex／2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex／2+ex是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )
设y1=ex／2+e-x+ex，y2=2e-x+ex，y3=ex／2+ex是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )
admin
2017-01-16
50
问题
设y
1
=e
x／2
+e
-x
+e
x
，y
2
=2e
-x
+e
x
，y
3
=e
x／2
+e
x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )
选项
A、y=C
1
e
x／2
+C
2
e
-x
+2e
x／2
+e
-x
+e
x
。
B、y=C
1
e
x／2
+C
2
e
-x
+2e
x／2
+e
-x
。
C、y=C
1
e
-x
+C
2
e
x
+3e
x／2
。
D、y=C
1
e
x／2
+C
2
e
-x
+2e
x
。
答案
A
解析
由解的结构定理，知y
1
-y
3
=e
-x
是对应的齐次方程的解。y
1
-y
2
=e
x／2
-e
-x
也是对应的齐次方程的解，从而Y=e
x／2
是齐次方程的解，且e
x／2
与e
-x
线性无关，即对应的齐次方程的通解为y=C
1
e
x／2
+C
2
e
-x
。比较四个选项，只有A选项符合非齐次线性微分方程的解的结构，故选A。
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考研数学一
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