利用变换y=f(ex)求微分方程y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2017-10-19 48

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y"一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，y=f(t)[*]y’=f’(t).e^x=tf’(t)， y"=(tf’(t))’_x=e^xf’(t)+tf"(t).e^x=tf’(t)+t²f"(t)，代入方程得t²f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即 f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y"一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为 y=(C₁+C₂e^x)e^{e^x}+e^x+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学三

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已知A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵，其中α1，α2，α3，α4是4维列向量．若齐次方程组Ax=0的通解是k(1，0，一3，2)T，证明α2，α3，α4)是齐次方程组A*x=0的基础解系．
设f(x)∈c[1，+∞)，广义积分∫1+∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=，则f(x)=__________．
设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aβ1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．
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四元非齐次线性方程组AX=b有三个解向量α1，α2，α3且r(A)=3，设，求方程组AX=b的通解．
求方程组的通解．

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