(2000年)求微分方程y"一2y’一e2x=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解。

admin2019-07-16 39

问题 (2000年)求微分方程y"一2y’一e^2x=0满足条件y(0)=0，y’(0)=1的解。

选项

答案本题对应的齐次微分方程为y"一2y’=0，其特征方程为r²一2r=0，特征根为r₁=0，r₂=2。于是齐次方程的通解为 Y=C₁+C₂e^2x。由于λ=2是特征方程的单根，所以设y*=Axe^2x，求得 y*’=Ae^2x+2Axe^2x，y*"=4Ae^2x+4Axe^2x。代入原方程，得4Ae^2x+4Axe^2x一2Ae^2x一4Axe^2x=e^2x，即2Ae^2x=e^2x，约去e^2x，再比较等式左、右两边，得2A=1，[*] 故得特解[*]非齐次方程的通解为 [*] 再由初始条件y(0)=1，得C₁+C₂=1， (1) [*]

解析

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