设A是一个n×n矩阵，交换A的第i列和第j列后再交换第i行和第j行得到矩阵B，则A，B( )．

admin2020-03-02 8

问题设A是一个n×n矩阵，交换A的第i列和第j列后再交换第i行和第j行得到矩阵B，则A，B( )．

选项 A、是等价矩阵但不相似
B、是相似矩阵但不合同
C、是相似、合同矩阵，但不等价
D、是等价、相似、合同矩阵

答案D

解析 A的i列和j列互换，i行和j行互换，相当于右乘、左乘互换初等阵，即
B=E_ijAE_ij，
其中

因｜B_ij｜=－1≠0，E_ij是可逆阵，且E_ij^－1=E_ij，E_ij^T=E_ij，即B=E_ijAE_ij=E_ij^－1AE_ij=E_ij^TAE_ij，故A，B是等价、相似、合同矩阵．故选D．

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