2. 考研
  3. 设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证： 曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)－g(x)=o((x－x0)2)(x→x0)．

设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证： 曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)－g(x)=o((x－x0)2)(x→x0)．

admin2019-02-26  48
问题 设f(x)，g(x)在x=x0某邻域有二阶连续导数，曲线y=f(x)和y=g(x)有相同的凹凸性．求证：
曲线y=f(x)和y=g(x)在点(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)－g(x)=o((x－x0)2)(x→x0)．
选项
答案相交与相切即f(x0)=g(x0)，f′(x0)=g′(x0)．若又有曲率相同，即 [*]，亦即｜f″(x0)｜=｜g″(x0)｜． 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或f″(x0)=g″(x0)=0或f″(x0)与g″(x0)同号，于是f″(x0)=g″(x0)．因此，在所设条件下，曲线y=f(x)，y=g(x)在(x0，y0)处相交、相切且有相同曲率[*]f(x0)一g(x0)=0，f′(x0)一g′(x0)=0，f″(x0)一g″(x0)=0． [*]f(x)一g(x)=f(x0)一g(x0)+[f(x)一g(x)]′｜x=x0(x—x0)+[*][f(x)一g(x)]″｜x=x0(x一x0)2+o(x一x0)2 =o((x一x0)2) (x一x0)． 即当x→x0时f(x)一g(x)是比(x一x0)2高阶的无穷小．
解析
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考研数学一

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