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设函数f(χ)(χ≥0)连续可导,且f(0)=1.又已知曲线y=f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ,0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积值与曲线y=f(χ)在[0,χ]上的一段弧长值相等,求f(χ).
设函数f(χ)(χ≥0)连续可导,且f(0)=1.又已知曲线y=f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ,0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积值与曲线y=f(χ)在[0,χ]上的一段弧长值相等,求f(χ).
admin
2020-07-31
43
问题
设函数f(χ)(χ≥0)连续可导,且f(0)=1.又已知曲线y=f(χ)、χ轴、y轴及过点(χ,0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积值与曲线y=f(χ)在[0,χ]上的一段弧长值相等,求f(χ).
选项
答案
曲线y=f(χ),χ轴,y轴及过点(χ,0)且垂直于χ轴的直线所围成的图形的面积为∫
0
χ
|f(t)|dt;曲线y=f(χ)在[0,χ]上的一段弧长为[*],根据题意得 [*] 两边对χ求导得 |f(χ)|=[*]或f
2
(χ)=1+f
′2
(χ), 则y=±[*],解得 lnC(y+[*])=±χ, 再由f(0)=1得C=1,所以y+[*],解得y=f(χ)=[*].
解析
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考研数学二
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