2. 考研
  3. 已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明至少存在一点x0∈(-∞，+∞)，使f(x0)=x0．

已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明至少存在一点x0∈(-∞，+∞)，使f(x0)=x0．

admin2022-06-04  42
问题 已知f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f[f(x)]=x，证明至少存在一点x0∈(-∞，+∞)，使f(x0)=x0．
选项
答案用反证法，设在(-∞，+∞)内恒有f(x)-x＞0．由于x的任意性，以f(x)代替其中的x，有f[f(x)]＞f(x)＞x．这与f[f(x)]=x矛盾． 同理，如果在(-∞，+∞)内恒有f(x)-x＜0，亦矛盾． 因此，必有点x1，使f(x1)-x1≤0，且有点x2，使f(x2)-x2≥0．若上式可以取等号，则证毕．设上式都不取等号，即有 f(x1)-x1＜0，f(x2)-x2＞0 由连续函数的零点定理得，至少存在一点x0∈(-∞，+∞)使f(x0)=x0．
解析
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考研数学三

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