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已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明至少存在一点x0∈(-∞,+∞),使f(x0)=x0.
已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明至少存在一点x0∈(-∞,+∞),使f(x0)=x0.
admin
2022-06-04
56
问题
已知f(x)在(-∞,+∞)内连续,且f[f(x)]=x,证明至少存在一点x
0
∈(-∞,+∞),使f(x
0
)=x
0
.
选项
答案
用反证法,设在(-∞,+∞)内恒有f(x)-x>0.由于x的任意性,以f(x)代替其中的x,有f[f(x)]>f(x)>x.这与f[f(x)]=x矛盾. 同理,如果在(-∞,+∞)内恒有f(x)-x<0,亦矛盾. 因此,必有点x
1
,使f(x
1
)-x
1
≤0,且有点x
2
,使f(x
2
)-x
2
≥0.若上式可以取等号,则证毕.设上式都不取等号,即有 f(x
1
)-x
1
<0,f(x
2
)-x
2
>0 由连续函数的零点定理得,至少存在一点x
0
∈(-∞,+∞)使f(x
0
)=x
0
.
解析
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0
考研数学三
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