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设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α
设α1=（1，3，5，—1）T，α2=（2，7，a，4）T，α3=（5，17，—1，7）T． ①若α1，α2，α3线性相关，求a． ②当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4． ③设a=3，α4是与α1，α2，α3都正交的非零向量，证明α1，α
admin
2019-08-11
69
问题
设α
1
=（1，3，5，—1）
T
，α
2
=（2，7，a，4）
T
，α
3
=（5，17，—1，7）
T
．
①若α
1
，α
2
，α
3
线性相关，求a．
②当a=3时，求与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量α
4
．
③设a=3，α
4
是与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量，证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
可表示任何一个4维向量．
选项
答案
①α
1
，α
2
，α
3
线性相关，则r（α
1
，α
2
，α
3
）＜3． (α
1
，α
2
，α
3
)= [*] 得a=—3． ②与α
1
，α
2
，α
3
都正交的非零向量即齐次方程组 [*] 的非零解，解此方程组： [*] 解得α
4
=c（19，—6，0，1）
T
，c≠0． ③只用证明α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，此时对任何4维向量α，有α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，α线性相关， 从而α可以用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示． 方法一 由①知，a=3时，α
1
，α
2
，α
3
线性无关，只用证明α
4
不能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示． 用反证法，如果α
4
能用α
1
，α
2
，α
3
线性表示，设(4=c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
，则 (α
4
，α
4
)=(α
4
，c
1
α
1
+c
2
α
2
+c
3
α
3
)=c
1
(α
4
，α
1
)+c
2
(α
4
，α
2
)+c
3
(α
4
，α
3
) =0． 得α
4
=0，与α
4
是非零向量矛盾． 方法二 计算行列式 | α
1
，α
2
，α
3
，α
4
| [*] 于是α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Q0J4777K
0
考研数学三
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