已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，—1)T且满足Aα=2α。求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换。

admin2019-03-23 78

问题已知三元二次型x^TAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，—1)^T且满足Aα=2α。
求正交变换x=Qy化二次型为标准形，并写出所用坐标变换。

选项

答案由｜λE—A｜=[*]=(λ—2)²(λ+4)，得矩阵A的特征值为2，2，—4。由(2E—A)x=0及[*]，得λ=2的特征向量α₁=(1，1，0)^T，α₂=(1，0，1)^T；由(—4E—A)x=0及[*]，得λ= —4的特征向量α₃=(—1，1，1)^T。将α₁，α₂正交化。令β₁=α₁，则 [*] 再对β₁，β₂，α₃单位化，有 [*] x^TAx=y^TΛy=2y₁²+2y₂²—4y₃²。

解析

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考研数学二

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