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已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,—1)T且满足Aα=2α。 求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换。
已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0,设α=(1,2,—1)T且满足Aα=2α。 求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换。
admin
2019-03-23
126
问题
已知三元二次型x
T
Ax的平方项系数均为0,设α=(1,2,—1)
T
且满足Aα=2α。
求正交变换x=Qy化二次型为标准形,并写出所用坐标变换。
选项
答案
由|λE—A|=[*]=(λ—2)
2
(λ+4),得矩阵A的特征值为2,2,—4。 由(2E—A)x=0及[*],得λ=2的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
; 由(—4E—A)x=0及[*],得λ= —4的特征向量α
3
=(—1,1,1)
T
。 将α
1
,α
2
正交化。令β
1
=α
1
,则 [*] 再对β
1
,β
2
,α
3
单位化,有 [*] x
T
Ax=y
T
Λy=2y
1
2
+2y
2
2
—4y
3
2
。
解析
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考研数学二
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