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设A为四阶实对称矩阵,且A2+2A-3E=O,若r(A-E)=1,则二次型xTAx在正交变换下的标准形为( )
设A为四阶实对称矩阵,且A2+2A-3E=O,若r(A-E)=1,则二次型xTAx在正交变换下的标准形为( )
admin
2022-09-14
82
问题
设A为四阶实对称矩阵,且A
2
+2A-3E=O,若r(A-E)=1,则二次型x
T
Ax在正交变换下的标准形为( )
选项
A、y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
-y
4
2
。
B、y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
-3y
4
2
。
C、y
1
2
-3y
2
2
-3y
3
2
-3y
4
2
。
D、y
1
2
+y
2
2
-3y
3
2
-3y
4
2
。
答案
B
解析
由A
2
+2A-3E=O有(A-E)(A+3E)=O,从而
r(A-E)+r(A+3E)≤4。
又因为 r(A-E)+r(A+3E)=r(E-A)+r(A+3E)
≥r[(E-A)+(A+3E)]
=r(4E)=4,
所以r(A-E)+r(A+3E)=4,则r(A+3E)=3。
于是齐次线性方程组(A-E)x=0与(A+3E)x=0分别有三个和一个线性无关的解,即λ=1与λ=-3分别是矩阵A的三重和一重特征值。故选B。
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考研数学二
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