设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y3，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

admin2016-01-23 58

问题设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y³

，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

选项

答案曲线y=y(x)上任意一点处的曲率半径为R=[*]，故由题设条件有 [*]，即y³y’’+1=0．这是不显含x的可降阶的微分方程．令[*]=p，则 [*] 于是方程化为 [*] 两边积分，得[*] 因曲线y=y(x)上点(1，1)处切线方程为y=1，故y(1)=1，y’(1)=p(1)=0．代入上述方程，可得C₁=[*]从而有 [*] 于是有[*]=dx．两边积分，得 [*]=x+C₂ 由

解析本题主要考查曲率半径的概念，并由此构造一个可降阶的微分方程．建立出这个微分方程，解之即可．
注：对干求解可降阶的高阶微分方程的特解问题，要根据初始条件随时确定积分后出现的任意常数，这样一般会使计算得以简化．请读者参阅求解过程仔细体会．

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考研数学一

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