设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y3，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

admin2016-01-23 36

问题设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y³

，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

选项

答案曲线y=y(x)上任意一点处的曲率半径为R=[*]，故由题设条件有 [*]，即y³y’’+1=0．这是不显含x的可降阶的微分方程．令[*]=p，则 [*] 于是方程化为 [*] 两边积分，得[*] 因曲线y=y(x)上点(1，1)处切线方程为y=1，故y(1)=1，y’(1)=p(1)=0．代入上述方程，可得C₁=[*]从而有 [*] 于是有[*]=dx．两边积分，得 [*]=x+C₂ 由

解析本题主要考查曲率半径的概念，并由此构造一个可降阶的微分方程．建立出这个微分方程，解之即可．
注：对干求解可降阶的高阶微分方程的特解问题，要根据初始条件随时确定积分后出现的任意常数，这样一般会使计算得以简化．请读者参阅求解过程仔细体会．

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考研数学一

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设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率半径为R=y3，且此曲线上点(1，1)处的切线方程为y=1，求函数y(x)．

考研数学一

向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2-α3线性相关，则α=________．

设B≠0为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解．则k=，|B|．

设f(x)二阶可导，且f"(x)＞0，证明：当x≠0时，f(x)＞x.

计算二重积分.

设A为n阶非奇异矩阵，α是n维列向量，b为常数，.证明PQ可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.

设A=E－ααT，其中α为n维非零列向量，证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量。

设α1,α2,α3,…,αm与β1,β2,β3，…βs为两个n维向量组，且r(α1,α2,α3,…,αm)=r(β1,β2,β3，…βs)=r,则()。

设在点处，函数f(x，y)=x2+(y-1)2(x≠0)在条件x2/a2+y2+b2=1(a＞0，b＜0)下取得最小值，求a，b的值。

在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布N(a，0．22)，若以n表示n次称量结果的算术平均值，则为使P｛｜X￣－a｜＜0．1｝≥0．95，n的最小值应小于自然数_________．

提示肺炎球菌肺炎病人病情严重的检查结果是

前置胎盘孕妇，产科检查的结果是

下列美术作品与创作者对应不正确的一项是()。

关于契税的计税依据的确定下列说法错误的有()。

社会中心课程论的代表人物是()。

下列不属于世界三大经济组织的是：

56，66，78，82，(　)

某消费者每月在煤气上的开支为20元。现在煤气价格上涨100％，而电的价格保持不变。政府为不影响消费者的生活水平，每月为消费者补贴20元。用效用理论分析，该消费者的状况与煤气涨价前相比，是否有所改变?

新的社会阶层是在改革开放以来社会变革中出现的，符合社会主义初级阶段社会生产力发展的要求。新的社会阶层产生的经济条件有

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56，66，78，82，( )

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