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设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率半径为R=y3,且此曲线上点(1,1)处的切线方程为y=1,求函数y(x).
设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率半径为R=y3,且此曲线上点(1,1)处的切线方程为y=1,求函数y(x).
admin
2016-01-23
57
问题
设y=y(x)是第一象限内一条向上凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率半径为R=y
3
,且此曲线上点(1,1)处的切线方程为y=1,求函数y(x).
选项
答案
曲线y=y(x)上任意一点处的曲率半径为R=[*],故由题设条件有 [*],即y
3
y’’+1=0. 这是不显含x的可降阶的微分方程.令[*]=p,则 [*] 于是方程化为 [*] 两边积分,得[*] 因曲线y=y(x)上点(1,1)处切线方程为y=1,故y(1)=1,y’(1)=p(1)=0.代入上述 方程,可得C
1
=[*]从而有 [*] 于是有[*]=dx.两边积分,得 [*]=x+C
2
由
解析
本题主要考查曲率半径的概念,并由此构造一个可降阶的微分方程.建立出这个微分方程,解之即可.
注:对干求解可降阶的高阶微分方程的特解问题,要根据初始条件随时确定积分后出现的任意常数,这样一般会使计算得以简化.请读者参阅求解过程仔细体会.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oRw4777K
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考研数学一
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