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  3. 设A为n阶矩阵，A11≠0,证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

设A为n阶矩阵，A11≠0,证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

admin2021-11-25  66
问题 设A为n阶矩阵，A11≠0,证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.
选项
答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n,从而｜A｜=0 于是A*b=A*AX=｜A｜X=0 反之，设A*b=0,因为b≠0,所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n，又A11≠0,所以r(A*)=1,且r(A)=n－1 因为r(A*)=1,所以方程组A*X=0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，而A*A=O，所以A的列向量组α1,α2,...,αn为方程组A*X=0的一组解向量。 由A11≠0,得α2,...,αn线性无关，所以α2,...,αn是方程组A*X=0的基础解系。 因为A*b=0，所以b可由α2,...,αn线性表示，也可由α1,α2,...,αn线性表示，故r(A)=[*]=n－1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解。
解析
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考研数学二

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