2. 考研
  3. 设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=1/2x2，求曲线C2的方程．

设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=1/2x2，求曲线C2的方程．

admin2021-10-18  100
问题 设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=1/2x2，求曲线C2的方程．
选项
答案由题设，C：y=x2，C1：y=1/2x2，令C2：x=f(y)，P点坐标为(x，y)，则SA=∫0x(x2-1/2x2)dx-1/6x3，SB=∫0y[y-f(y)]dy=2/3y3/2-∫0yf(y)dy，所以1/6x3=2/3y3/2-∫0yf(y)dy，因为P∈C，所以有∫0yf(y)dy=2/3y3/2-1/6x3=1/2x3，即∫0xf(y)dy=1/2x3，两边对x求导，得2x·f(x2)=3/2x2，即f(x2)=3/4x．从而C2的方程为y=16/9x2． [*]
解析
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考研数学二

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