设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=1/2x2，求曲线C2的方程．

admin2021-10-18 77

问题设C₁，C₂是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C₁，C₂之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x²，C₁的方程是y=1/2x²，求曲线C₂的方程．

选项

答案由题设，C：y=x²，C₁：y=1/2x²，令C₂：x=f(y)，P点坐标为(x，y)，则S_A=∫₀^x(x²-1/2x²)dx-1/6x³，S_B=∫₀^y[y-f(y)]dy=2/3y^3/2-∫₀^yf(y)dy，所以1/6x³=2/3y^3/2-∫₀^yf(y)dy，因为P∈C，所以有∫₀^yf(y)dy=2/3y^3/2-1/6x³=1/2x³，即∫₀^xf(y)dy=1/2x³，两边对x求导，得2x·f(x²)=3/2x²，即f(x²)=3/4x．从而C₂的方程为y=16/9x²． [*]

解析

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考研数学二

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设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域，记为A，B，它们有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=1/2x2，求曲线C2的方程．

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