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设C1,C2是任意两条过原点的曲线,曲线C介于C1,C2之间,如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线,得两块阴影所示区域,记为A,B,它们有相等的面积,设C的方程是y=x2,C1的方程是y=1/2x2,求曲线C2的方程.
设C1,C2是任意两条过原点的曲线,曲线C介于C1,C2之间,如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线,得两块阴影所示区域,记为A,B,它们有相等的面积,设C的方程是y=x2,C1的方程是y=1/2x2,求曲线C2的方程.
admin
2021-10-18
67
问题
设C
1
,C
2
是任意两条过原点的曲线,曲线C介于C
1
,C
2
之间,如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线,得两块阴影所示区域,记为A,B,它们有相等的面积,设C的方程是y=x
2
,C
1
的方程是y=1/2x
2
,求曲线C
2
的方程.
选项
答案
由题设,C:y=x
2
,C
1
:y=1/2x
2
,令C
2
:x=f(y),P点坐标为(x,y),则S
A
=∫
0
x
(x
2
-1/2x
2
)dx-1/6x
3
,S
B
=∫
0
y
[y-f(y)]dy=2/3y
3/2
-∫
0
y
f(y)dy,所以1/6x
3
=2/3y
3/2
-∫
0
y
f(y)dy,因为P∈C,所以有∫
0
y
f(y)dy=2/3y
3/2
-1/6x
3
=1/2x
3
,即∫
0
x
f(y)dy=1/2x
3
,两边对x求导,得2x·f(x
2
)=3/2x
2
,即f(x
2
)=3/4x.从而C
2
的方程为y=16/9x
2
. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oRy4777K
0
考研数学二
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