设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证 A可相似对角化.

admin2019-12-26  32

问题 设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证
A可相似对角化.

选项

答案由ATα+Aα-2α=0[*](AT+A-2E)α=0,因为α≠0,所以齐次线性方程组(AT+A-2E)x=0有非零解,于是有 [*] 若|A+2E|≠0,则有(A+2E)(A-E)α=0[*](A-E)α=0[*]Aα=α,即α是A的特征向量,这与已知矛盾,所以 |A+2E|=0;同理可证|A-E|=0,所以A有两个不同的特征值λ1=-2,λ2=1,故A可相似对角化.

解析
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