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设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证 A可相似对角化.
设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A2α+Aα-2α=0,试证 A可相似对角化.
admin
2019-12-26
96
问题
设A为2阶矩阵,α为非零向量,但不是A的特征向量,且满足A
2
α+Aα-2α=0,试证
A可相似对角化.
选项
答案
由A
T
α+Aα-2α=0[*](A
T
+A-2E)α=0,因为α≠0,所以齐次线性方程组(A
T
+A-2E)x=0有非零解,于是有 [*] 若|A+2E|≠0,则有(A+2E)(A-E)α=0[*](A-E)α=0[*]Aα=α,即α是A的特征向量,这与已知矛盾,所以 |A+2E|=0;同理可证|A-E|=0,所以A有两个不同的特征值λ
1
=-2,λ
2
=1,故A可相似对角化.
解析
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考研数学三
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