设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A2α+Aα－2α=0，试证 A可相似对角化．

admin2019-12-26 39

问题设A为2阶矩阵，α为非零向量，但不是A的特征向量，且满足A²α+Aα－2α=0，试证
A可相似对角化．

选项

答案由A^Tα+Aα－2α=0[*](A^T+A－2E)α=0，因为α≠0，所以齐次线性方程组(A^T+A－2E)x=0有非零解，于是有 [*] 若|A+2E|≠0，则有(A+2E)(A－E)α=0[*](A－E)α=0[*]Aα=α，即α是A的特征向量，这与已知矛盾，所以 |A+2E|=0；同理可证|A－E|=0，所以A有两个不同的特征值λ₁=－2，λ₂=1，故A可相似对角化．

解析

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