2. 考研
  3. 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．

设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．

admin2019-05-10  42
问题 设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，该二次型为正定二次型．
选项
答案 由于本题中的二次型含有较多字母，求其矩阵很不方便，求其矩阵的特征值及顺序主子式就更困难了，故只好采用正定的定义求解． 根据定义，二次型f正定是指对于任何X≠0，恒有f(X)=XTAX＞0．由其逆否命题知，此条件等价于f(X)=XTAX≤0时，X=0．由题设知．f(X)＜0不可能，故等价于f(X)=XTAX=0时有X=0，即等价于方程组 [*] 只有零解．当上述方程组只有零解时，就必有当X≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3,…恒不全为零，从而恒有XTAX＞0，则f(x)=XTAX是正定二次型．而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*]=1+(－1)n-1a1，a2，…，an≠0 于是当1+(一1)n-1a1，a2，…，an≠0时，以上方程组只有零解．因而当1+(－1)n-1a1，a2，…，an≠0时，对任意不全为零的x1，x2，…，xn都有f(x1，x2，…，xn)＞0．由二次型正定的定义知f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．
解析
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考研数学二

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