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设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该二次型为正定二次型.
设有n元实二次型f(x1,x2,…,xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2,其中ai(i=1,2,…,n)为实数.试问当a1,a2,…,an满足何种条件时,该二次型为正定二次型.
admin
2019-05-10
61
问题
设有n元实二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=(x
1
+a
1
x
2
)
2
+(x
2
+a
2
x
3
)+…+(x
n-1
+a
n-1
x
n
)
2
+(x
n
+a
n
x
1
)
2
,其中a
i
(i=1,2,…,n)为实数.试问当a
1
,a
2
,…,a
n
满足何种条件时,该二次型为正定二次型.
选项
答案
由于本题中的二次型含有较多字母,求其矩阵很不方便,求其矩阵的特征值及顺序主子式就更困难了,故只好采用正定的定义求解. 根据定义,二次型f正定是指对于任何X≠0,恒有f(X)=X
T
AX>0.由其逆否命题知,此条件等价于f(X)=X
T
AX≤0时,X=0.由题设知.f(X)<0不可能,故等价于f(X)=X
T
AX=0时有X=0,即等价于方程组 [*] 只有零解.当上述方程组只有零解时,就必有当X≠0时,x
1
+a
1
x
2
,x
2
+a
2
x
3
,…恒不全为零,从而恒有X
T
AX>0,则f(x)=X
T
AX是正定二次型.而上述方程组只有零解的充分必要条件是其系数行列式 [*]=1+(-1)
n-1
a
1
,a
2
,…,a
n
≠0 于是当1+(一1)
n-1
a
1
,a
2
,…,a
n
≠0时,以上方程组只有零解.因而当1+(-1)
n-1
a
1
,a
2
,…,a
n
≠0时,对任意不全为零的x
1
,x
2
,…,x
n
都有f(x
1
,x
2
,…,x
n
)>0.由二次型正定的定义知f(x
1
,x
2
,…,x
n
)为正定二次型.
解析
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考研数学二
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