设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫x1xf’(x)dx=2,证明:存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。

admin2021-01-28  54

问题 设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫x1xf’(x)dx=2,证明:存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。

选项

答案由分部积分,得 ∫01xf’(x)dx=xf(x)|01-∫01f(x)dx=-∫01f(x)dx=2; 于是∫01f(x)dx=-2。 由拉格朗日中值定理,得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x-1),其中η∈(x,1), f(x)=f’(η)(x-1)两边对x从0到1积分,得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x-1)dx=-2, 因为f’(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上取到最小值m和最大值M, 由M(x-1)≤f’(η)(x-1)≤m(x-1)两边对x从0到1积分, 得-M/2≤∫01f’(η)(x-1)dx≤-m/2,即m≤4≤M, 由介值定理,存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。

解析
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