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设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫x1xf’(x)dx=2,证明:存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。
设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫x1xf’(x)dx=2,证明:存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。
admin
2021-01-28
69
问题
设f(x)在[0,1]上连续可导,f(1)=0,∫
x
1
xf’(x)dx=2,证明:存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。
选项
答案
由分部积分,得 ∫
0
1
xf’(x)dx=xf(x)|
0
1
-∫
0
1
f(x)dx=-∫
0
1
f(x)dx=2; 于是∫
0
1
f(x)dx=-2。 由拉格朗日中值定理,得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x-1),其中η∈(x,1), f(x)=f’(η)(x-1)两边对x从0到1积分,得∫
0
1
f(x)dx=∫
0
1
f’(η)(x-1)dx=-2, 因为f’(x)在[0,1]上连续,所以f’(x)在[0,1]上取到最小值m和最大值M, 由M(x-1)≤f’(η)(x-1)≤m(x-1)两边对x从0到1积分, 得-M/2≤∫
0
1
f’(η)(x-1)dx≤-m/2,即m≤4≤M, 由介值定理,存在ζ∈[0,1],使得f’(ζ)=4。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Zqx4777K
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考研数学三
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