2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫x1xf’(x)dx=2，证明：存在ζ∈[0，1]，使得f’(ζ)=4。

设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫x1xf’(x)dx=2，证明：存在ζ∈[0，1]，使得f’(ζ)=4。

admin2021-01-28  69
问题 设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫x1xf’(x)dx=2，证明：存在ζ∈[0，1]，使得f’(ζ)=4。
选项
答案由分部积分，得 ∫01xf’(x)dx=xf(x)｜01-∫01f(x)dx=-∫01f(x)dx=2； 于是∫01f(x)dx=-2。 由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x-1)，其中η∈(x，1)， f(x)=f’(η)(x-1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x-1)dx=-2， 因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M， 由M(x-1)≤f’(η)(x-1)≤m(x-1)两边对x从0到1积分， 得-M/2≤∫01f’(η)(x-1)dx≤-m/2，即m≤4≤M， 由介值定理，存在ζ∈[0，1]，使得f’(ζ)=4。
解析
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考研数学三

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