函数f(x)=|x3+x2-2x|arctanx的不可导点的个数是( ).

admin2020-08-04  42

问题 函数f(x)=|x3+x2-2x|arctanx的不可导点的个数是(    ).

选项 A、3
B、2
C、1
D、0

答案C

解析 利用下述判别法判别.
设f(x)=|x-a|φ(x),其中φ(x)在x=a处连续.若φ(a)=0,则f(x)在x=a处可导且f′(a)=φ(a)=0;若φ(a)≠0,则f(x)在x=a处不可导.
为此,常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式|x—a|的乘积.
因f(x)可分解成
f(x)=|x(x2+x一2)|arctanx=|x(x+2)(x一1)|arctanx
     =|x||x+2||x-1|arctanx.
显然arctanx在x=0,一2,1处连续.因
  |x||x+2||x-1|arctanx=|x|φ1(x),
其中   φ1(x)|x=0=|x+2||x-1|arctanx|x=0=0,
故f(x)在x=0处可导.又
    |x||x+2||x-1|arctanx=|x-1|(|x||x+2|arctanx)=|x-1|φ2(x),
而当x=1时,    φ2(x)|x=1=|x||x+2|arctanx|x=1≠0,
故f(x)在x=1处不可导.又
   |x||x+2||x-1|arctanx=|x+2|(|x||x-1|arctanx)=|x+2|φ3(x),
   φ3(x)|x=-2=|x||x-1|arctanx|x=-2 ≠0,
故f(x)在x=一2处不可导.仅(C)入选.
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