2. 考研
  3. 函数f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可导点的个数是( )．

函数f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可导点的个数是( )．

admin2020-08-04  50
问题 函数f(x)＝｜x3＋x2－2x｜arctanx的不可导点的个数是(    )．
选项 A、3
B、2
C、1
D、0
答案C
解析 利用下述判别法判别．
设f(x)＝｜x－a｜φ(x)，其中φ(x)在x＝a处连续．若φ(a)＝0，则f(x)在x＝a处可导且f′(a)＝φ(a)＝0；若φ(a)≠0，则f(x)在x＝a处不可导．
为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式｜x—a｜的乘积．
因f(x)可分解成
f(x)＝｜x(x2＋x一2)｜arctanx＝｜x(x＋2)(x一1)｜arctanx
     ＝｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx．
显然arctanx在x＝0，一2，1处连续．因
  ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x｜φ1(x)，
其中   φ1(x)｜x＝0＝｜x＋2｜｜x－1｜arctanx｜x＝0＝0，
故f(x)在x＝0处可导．又
    ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x－1｜(｜x｜｜x＋2｜arctanx)＝｜x－1｜φ2(x)，
而当x＝1时，    φ2(x)｜x＝1＝｜x｜｜x＋2｜arctanx｜x＝1≠0，
故f(x)在x＝1处不可导．又
   ｜x｜｜x＋2｜｜x－1｜arctanx＝｜x＋2｜(｜x｜｜x－1｜arctanx)＝｜x＋2｜φ3(x)，
   φ3(x)｜x＝－2＝｜x｜｜x－1｜arctanx｜x＝－2 ≠0，
故f(x)在x＝一2处不可导．仅(C)入选．
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考研数学三

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