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设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx.
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证: ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx.
admin
2018-06-27
61
问题
设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数,求证:
∫
a
b
f(x)dx=
(b-a)[f(a)+f(b)]+
∫
a
b
f’’(x)(x-a)(x-b)dx.
选项
答案
连续利用分部积分有 ∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-∫
a
b
f’(x)(x-b)d(x-a) =f(a)(b-a)+∫
a
b
(x-a)d[f’(x)(x-b)] =f(a)(b-a)+∫
a
b
(x-a)df(x)+∫
a
b
f’’(x)(x-a)(x-b)dx =f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-∫f(x)dx+∫
a
b
f’’(x)(x-a)(x-b)dx, 移项后得 ∫
a
b
f(x)dx=[*](b-a)[f(a)+f(b)]+[*]∫
a
b
f’’(x)(x-a)(x-b)dx.
解析
很自然的想法是用分部积分法,但要注意“小技巧”:
∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)d(x-b),或∫
a
b
f(x)dx=∫
a
b
f(x)f(x-a)
这样改写后分部积分的首项简单.这一点考生应熟练掌握.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oak4777K
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考研数学二
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