2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．

设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证： ∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．

admin2018-06-27  100
问题 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数，求证：
∫abf(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．
选项
答案连续利用分部积分有 ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x-b)=f(a)(b-a)-∫abf’(x)(x-b)d(x-a) =f(a)(b-a)+∫ab(x-a)d[f’(x)(x-b)] =f(a)(b-a)+∫ab(x-a)df(x)+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx =f(a)(b-a)+f(b)(b-a)-∫f(x)dx+∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx， 移项后得 ∫abf(x)dx=[*](b-a)[f(a)+f(b)]+[*]∫abf’’(x)(x-a)(x-b)dx．
解析 很自然的想法是用分部积分法，但要注意“小技巧”：
    ∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x-b)，或∫abf(x)dx=∫abf(x)f(x-a)
这样改写后分部积分的首项简单．这一点考生应熟练掌握．
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考研数学二

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