设A,B为3阶相似非零矩阵,矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,行列式|AB-A*+B-E|=______.

admin2017-05-18  21

问题 设A,B为3阶相似非零矩阵,矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,行列式|AB-A*+B-E|=______.

选项

答案[*]

解析 |A*B-A*+B-E|=|A*(B-E)+(B-E)|
    =|(A*+E)(B-E)|=|A*+E|.|B-E|
    由aij=Aij(i,j=1,2,3)可知,AT=A*,于是
    AAT=AA*=|A|E |AAT|=A|3|A|=|A|3|A|=0或|A|=1.
    因为A≠0,不妨假定aij≠0,所以
    |A|=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132≠0,
故|A|=1.
    又由题设可知,A,B相似,所以A,B有相同的特征值,且|B|=|A|=1.
由|E+2B|=|E+3B|=0可知,B有特征值λ1=,设另外一个特征值为λ3,则有λ1λ2λ3=所以A,B的特征值为λ1=,λ3=6.
于是|A*+E|=|AT+E|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=
|B-E|=(λ1-1)(λ2-1)(λ3-1)==10.
故|A*B-A*+B-E|=|A*+E|.|B-E|=
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