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设A,B为3阶相似非零矩阵,矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,行列式|AB-A*+B-E|=______.
设A,B为3阶相似非零矩阵,矩阵A=(aij)满足aij=Aij(i,j=1,2,3),Aij为aij的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,行列式|AB-A*+B-E|=______.
admin
2017-05-18
42
问题
设A,B为3阶相似非零矩阵,矩阵A=(a
ij
)满足a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3),A
ij
为a
ij
的代数余子式,矩阵B满足|E+2B|=|E+3B|=0,行列式|AB-A
*
+B-E|=______.
选项
答案
[*]
解析
|A
*
B-A
*
+B-E|=|A
*
(B-E)+(B-E)|
=|(A
*
+E)(B-E)|=|A
*
+E|.|B-E|
由a
ij
=A
ij
(i,j=1,2,3)可知,A
T
=A
*
,于是
AA
T
=AA
*
=|A|E
|AA
T
|=A|
3
|A|=|A|
3
|A|=0或|A|=1.
因为A≠0,不妨假定a
ij
≠0,所以
|A|=a
11
A
11
+a
12
A
12
+a
13
A
13
=a
11
2
+a
12
2
+a
13
2
≠0,
故|A|=1.
又由题设可知,A,B相似,所以A,B有相同的特征值,且|B|=|A|=1.
由|E+2B|=|E+3B|=0可知,B有特征值λ
1
=
,设另外一个特征值为λ
3
,则有λ
1
λ
2
λ
3
=
所以A,B的特征值为λ
1
=
,λ
3
=6.
于是|A
*
+E|=|A
T
+E|=|A+E|=(λ
1
+1)(λ
2
+1)(λ
3
+1)=
|B-E|=(λ
1
-1)(λ
2
-1)(λ
3
-1)=
=10.
故|A
*
B-A
*
+B-E|=|A
*
+E|.|B-E|=
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考研数学一
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