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  3. 设α1，α2，α3，α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

设α1，α2，α3，α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是

admin2016-07-20  45
问题 设α1，α2，α3，α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
选项 A、如果α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3线性相关．
B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4线性相关．
C、如果α3不能用α1，α2线性表示，α4不能用α2，α3线性表示，则α1能用α2，α3，α4线性表示．
D、如果r(α1，α1＋α2，α2＋α3)＝r(α4，α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4)，则α4能用α1，α2，α3线性表示．
答案B
解析 只要α2，α3线性相关，就有α1，α2，α3和α2，α3，α4都线性相关，但推不出α1，α2，α4线性相关．例如α1＝(1，0，0)，α2＝α3＝(0，1，0)，α4＝(0，0，1)．
    说明选项A、C的正确都可根据同一事实：如果3个3维向量线性无关，则任何3维向量都可以用它们线性表示．
    选项A是其逆否命题．
    选项C：α2是非零向量，α3不能用α2线性表示(因为α3不能用α1，α2线性表示)，则α2，α3线性无关．而α4不能用α2，α3线性表示，α2，α3，α4线性无关．
    选项D：r(α1，α2，α3)＝r(α1，α1＋α2，α2＋α3)＝r(α4，α1＋α4，α2＋α4，α3＋α4)＝r(α4，α1，α2，α3)，因此α4能用α1，α2，α3线性表示．
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