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设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)经初等行变换变为矩阵B=(β1,β2,β3,β4)，且α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,α4线性相关，则( )。
设矩阵A=(α1,α2,α3,α4)经初等行变换变为矩阵B=(β1,β2,β3,β4)，且α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3,α4线性相关，则( )。
admin
2021-11-25
26
问题
设矩阵A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)经初等行变换变为矩阵B=(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)，且α
1
,α
2
,α
3
线性无关，α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关，则( )。
选项
A、β
4
不能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示
B、β
4
能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示，但表示法不唯一
C、β
4
能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示，且表示法唯一
D、β
4
能否由β
1
,β
2
,β
3
线性表示不能确定
答案
C
解析
因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关，所以α
4
可由α
1
,α
2
,α
3
唯一线性表示，又A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)经过有限次初等行变换为B=(β
1
,β
2
,β
3
,β
4
)，所以方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=α
4
与x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=β
4
是同解方程组，因为方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=α
4
有唯一解，所以方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=β
4
有唯一解，即β
4
能由β
1
,β
2
,β
3
线性表示，且表示法唯一。
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考研数学二
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