设A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξξT=1，则 ①A是对称矩阵； ②是单位矩阵； ③是正交矩阵；④是可逆矩阵。上述结论中，正确的个数是( )

admin2019-08-12 41

问题设A=E一2ξξ^T，其中ξ=(x₁，x₂，…，x_n)^T，且有ξξ^T=1，则
①A是对称矩阵； ②是单位矩阵；
③是正交矩阵；④是可逆矩阵。
上述结论中，正确的个数是( )

选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。

答案D

解析 A^T=(E一2ξξ^T)^T=E^T一(2ξξ^T)^T=E—2ξξ^T=A，①成立。
A²=(E一2ξξ^T)(E一2ξξ^T)=E一4ξξ^T+4ξξ^Tξξ^T=E一4ξξ^T+4ξ(ξ^Tξ)ξ^T=E，②成立。
由①②，得A²=AA^T=E，故A是正交矩阵，③成立。
由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A^—1=A^T，④成立。
故选D。

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