2. 考研
  3. 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

admin2019-05-08  48
问题 已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．
选项
答案证一 转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]．注意α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则 [*] 因而矩阵B与A等价，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关． 证二 利用两向量组等价必等秩的结论证之．因 [*] 且|K|=1≠0，故α1，α2，α3，α5可由α1，α2，α3，α5—α4线性表出．显然α1，α2，α3，α5一α4可由α1，α2，α3，α5线性表出，因而这两个向量组等价．等价必等秩，故秩([α1，α2，α3，α5一α4])=4． 注：命题2．3．1．1 α1，α2，…，αs线性无关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一．
解析
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考研数学三

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