已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3,秩(Ⅲ)=4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

admin2019-05-08  33

问题 已知向量组(I):α1,α2,α3;(Ⅱ):α1,α2,α3,α4;(Ⅲ):α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3,秩(Ⅲ)=4.证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4.

选项

答案证一 转化为矩阵证明.设A=[α1,α2,α3,α5],B=[α1,α2,α3,α5一α4].注意α1,α2,α3线性无关,α1,α2,α3,α4线性相关,由命题2.3.1.1知,α41α12α23α3,则 [*] 因而矩阵B与A等价,故秩(B)=秩(A)=4,即α1,α2,α3,α5一α4线性无关. 证二 利用两向量组等价必等秩的结论证之.因 [*] 且|K|=1≠0,故α1,α2,α3,α5可由α1,α2,α3,α5—α4线性表出.显然α1,α2,α3,α5一α4可由α1,α2,α3,α5线性表出,因而这两个向量组等价.等价必等秩,故秩([α1,α2,α3,α5一α4])=4. 注:命题2.3.1.1 α1,α2,…,αs线性无关,而β,α1,α2,…,αs线性相关,则β可由α1,α2,…,αs线性表示,且表示法唯一.

解析
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