设矩阵A=的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化.

admin2016-05-09  16

问题 设矩阵A=的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化.

选项

答案矩阵A的特征多项式为 |λE-A|=[*]=(λ-2)(λ2-8λ+18+3a), 如果λ=2是单根,则λ2-8λ+18+3a是完全平方,那么有18+3a=16,即a=-[*]. 则矩阵A的特征值是2,4,4,而r(4E-A)=[*]=2,故λ=4只有一个线性 无关的特征向量,从而A不能相似对角化. 如果λ=2是二重特征值,则将λ=0代入λ2-8λ+18+3a=0,则有18+3a=12,即a=-2.于是λ2-8λ+18+3a=(λ-2)(λ-6). 则矩阵A的特征值是2,2,6,而r(2E-A)=[*]=1,故λ=2有两个线性无关的特征向量,从而A可以相似对角化.

解析
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