设矩阵A＝的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

admin2016-05-09 19

问题设矩阵A＝

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化．

选项

答案矩阵A的特征多项式为｜λE－A｜＝[*]＝(λ－2)(λ²－8λ＋18＋3a)，如果λ＝2是单根，则λ²－8λ＋18＋3a是完全平方，那么有18＋3a＝16，即a＝－[*]．则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E－A)＝[*]＝2，故λ＝4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化．如果λ＝2是二重特征值，则将λ＝0代入λ²－8λ＋18＋3a＝0，则有18＋3a＝12，即a＝－2．于是λ²－8λ＋18＋3a＝(λ－2)(λ－6)．则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E－A)＝[*]＝1，故λ＝2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化．

解析

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考研数学一

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