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设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*x=0基础解系为( ).
设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*x=0基础解系为( ).
admin
2017-10-25
72
问题
设α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是四维非零列向量,A=(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),A
*
为A的伴随矩阵,又知方程组AX=0的基础解系为(1,0,2,0)
T
,则方程组A
*
x=0基础解系为( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
C、α
2
,α
3
,α
4
或α
1
,α
2
,α
4
D、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
4
,α
4
+α
1
答案
C
解析
首先确定A的秩,进而确定A
*
的秩;利用A与A
*
的关系及已知条件即可判别.
由Ax=0的基础解系仅含有一个解向量知,R(A)=3,从而R(A
*
)=1,于是方程组A
*
x=0的基础解系中含有3个解向量.
又因为A
*
A=A
*
(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=|A|E=O,
所以向量α
1
,α
2
,α
2
,α
4
是方程组A
*
x=0的解.
因为(1,0,2,0)
T
是Ax=0的解,故有α
1
+2α
3
=0,即α
1
,α
3
线性相关.从而,向量组α
1
,α
2
,α
3
与向量组α
1
,α
2
,α
3
,α
4
均线性相关,故排除(A)、(B)、(D)选项.
事实上,由α
1
+2α
3
=0,得α
1
=0α
2
-2α
3
+0α
4
,即α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表示,又R(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=3,所以α
2
,α
3
,α
4
线性无关,即α
2
,α
3
,α
4
为A
*
x=0的一个基础解系.
故应选(C).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ojr4777K
0
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