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  3. 将函数展成x的幂级数，并求f(2n＋1)(0)。

将函数展成x的幂级数，并求f(2n＋1)(0)。

admin2020-03-08  11
问题 将函数展成x的幂级数，并求f(2n＋1)(0)。
选项
答案[*] 级数的收敛区间为(－1，1)，但当x＝±1时，等式右边的级数为 [*] 为交错级数，满足莱布尼茨准则，是收敛的，故级数的收敛域为[－1，1]，即 [*] 其中x∈[－1，1]。 再求f(n)(0)，由于f(x)麦克劳林展开式为 [*] 另一方面，由式①得到 f(2n)(0)＝0(n＝0，1，2，…)，f’(0)＝1。 [*] 故 f(2n＋1)(0)＝(－1)n[1·3·5·…·(2n－1)]2， n＝1，2，3，…。
解析 [解题思路]  将函数f(x)在点x0处展成幂级数，若用直接展开法需求出f(n)(x0)，这是比较困难的。若用间接展开法，可避开求f(x)的n阶导数。本例用间接展开法，为此先求f(x)的导数，将其导数展成x的幂级数后再积分即得函数的幂级数的展开式。设函数f(x)的展开式求出为

另一方面，函数f(x)的展开式为

比较它们的同次幂系数，由展开式的唯一性，有

即  f(n)(x0)＝an·n!(n＝0，1，2，…)。
这是求函数在一点处的高阶导数值的有效方法。
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