[2016年] 设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3,则f(x1,x2,x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为( ).

admin2019-04-08  36

问题 [2016年]  设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3,则f(x1,x2,x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为(    ).

选项 A、单叶双曲面
B、双叶双曲面
C、椭球面
D、柱面

答案B

解析 由f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3易求得其矩阵为

易知A的特征值为
λ1=a+(n一1)b=1+(3—1)×2=5,  λ23=a—b=1—2=一1.
或直接计算由
|λE—A|==(λ一5)(λ+1)2=0
得到λ1=5,λ23=一1.故此二次型在正交变换X=QY下的标准形为f(y1,y2,y3)=5y12一y22一y32,因而
f(y1,y2,y3) 5y12一y22一y32=2,
表示双叶双曲面.仅B入选.[img][/img]
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