设α1,α2,...,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是

admin2020-03-24  40

问题 设α1,α2,...,αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是

选项 A、若α1,α2,...,αs线性相关,则Aα1,Aα2,...,Aαs线性相关.
B、若α1,α2,...,αs线性相关,则Aα1,Aα2,...,Aαs线性无关.
C、若α1,α2,...,αs线性无关,则Aα1,Aα2,...,Aαs线性相关.
D、若α1,α2,...,αs线性无关,则Aα1,Aα2,...,Aαs线性无关.

答案A

解析 因为(Aα1,Aα2,...,Aαs=A(α1,α2,...,αs),所以
    r(Aα1,Aα2,...,Aαs)≤r(α1,α2,...,αs).
    因为α1,α2,...,αs线性相关,有r(α1,α2,...,αs)    r(Aα1,Aα2,...,Aαs)    所以Aα1,Aα2,...,Aαs线性相关,故应选(A).
    注意,当α1,α2,...,αs线性无关时,若秩r(A)=n,则Aα1,Aα2,...,Aαs线性无关,否则Aα1,Aα2,...,Aαs
可以线性相关.因此,(C),(D)均不正确.
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