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  3. 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．

admin2018-04-15  89
问题 设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=0．证明：A不可以对角化．
选项
答案方法一 令AX=λX(x≠0)，则有AkX=λkX，因为Ak=O，所以λkX=0，注意到X≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0． 因为r(0E—A)=r(A)≥1，所以方程组(0E一A)X=0的基础解系至多含n一1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化． 方法二 设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得 [*] 两边k次幂得 [*] 从而有λ1=λ2=…=λn=0， 于是P-1AP=O，进一步得A=O，矛盾，所以矩阵A不可以对角化．
解析
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考研数学三

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