求下列微分方程的通解或特解: (Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y′(0)=2. (Ⅱ)+2y=e-xcosx.

admin2016-10-26  28

问题 求下列微分方程的通解或特解:
(Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y′(0)=2.
(Ⅱ)+2y=e-xcosx.

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2—4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解 y*=ax2+bx+c,代入方程得 2a一4(ax2+bx+c)=4x2. [*] 因此得特解 y=[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0,特征根λ1=-1,λ2=-2.由于非齐次项是 e-xcosx,一1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解 y*=e-x(acosx+bsinx). 代入原方程比较等式两端e-xcosx与e-xsinx的系数,可确定出a=-[*],所以非齐次方程的通解 为 y=C1e-x+C2e-2x+[*]e-x(sinx—cosx),其中C1,C2为任意常数.

解析
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