求下列微分方程的通解或特解： (Ⅰ)－4y=4x2，y(0)=，y′(0)=2． (Ⅱ)+2y=e－xcosx．

admin2016-10-26 88

问题求下列微分方程的通解或特解：
(Ⅰ)

－4y=4x²，y(0)=

，y′(0)=2．
(Ⅱ)

+2y=e^－xcosx．

选项

答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ²—4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解 y^*=ax²+bx+c，代入方程得 2a一4(ax²+bx+c)=4x²． [*] 因此得特解 y=[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ²+3λ+2=0，特征根λ₁=－1，λ₂=－2．由于非齐次项是 e^－xcosx，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y^*=e^－x(acosx+bsinx)．代入原方程比较等式两端e^－xcosx与e^－xsinx的系数，可确定出a=－[*]，所以非齐次方程的通解为 y=C₁e^－x+C₂e^－2x+[*]e^－x(sinx—cosx)，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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