2. 考研
  3. 求下列微分方程的通解或特解： (Ⅰ)－4y=4x2，y(0)=，y′(0)=2． (Ⅱ)+2y=e－xcosx．

求下列微分方程的通解或特解： (Ⅰ)－4y=4x2，y(0)=，y′(0)=2． (Ⅱ)+2y=e－xcosx．

admin2016-10-26  15
问题 求下列微分方程的通解或特解：
(Ⅰ)－4y=4x2，y(0)=，y′(0)=2．
(Ⅱ)+2y=e－xcosx．
选项
答案(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2—4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解 y*=ax2+bx+c，代入方程得 2a一4(ax2+bx+c)=4x2． [*] 因此得特解 y=[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0，特征根λ1=－1，λ2=－2．由于非齐次项是 e－xcosx，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y*=e－x(acosx+bsinx)． 代入原方程比较等式两端e－xcosx与e－xsinx的系数，可确定出a=－[*]，所以非齐次方程的通解 为 y=C1e－x+C2e－2x+[*]e－x(sinx—cosx)，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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