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求下列微分方程的通解或特解: (Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y′(0)=2. (Ⅱ)+2y=e-xcosx.
求下列微分方程的通解或特解: (Ⅰ)-4y=4x2,y(0)=,y′(0)=2. (Ⅱ)+2y=e-xcosx.
admin
2016-10-26
55
问题
求下列微分方程的通解或特解:
(Ⅰ)
-4y=4x
2
,y(0)=
,y′(0)=2.
(Ⅱ)
+2y=e
-x
cosx.
选项
答案
(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ
2
—4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解 y
*
=ax
2
+bx+c,代入方程得 2a一4(ax
2
+bx+c)=4x
2
. [*] 因此得特解 y=[*] (Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ
2
+3λ+2=0,特征根λ
1
=-1,λ
2
=-2.由于非齐次项是 e
-x
cosx,一1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解 y
*
=e
-x
(acosx+bsinx). 代入原方程比较等式两端e
-x
cosx与e
-x
sinx的系数,可确定出a=-[*],所以非齐次方程的通解 为 y=C
1
e
-x
+C
2
e
-2x
+[*]e
-x
(sinx—cosx),其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/p2u4777K
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考研数学一
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