2. 考研
  3. 以下3个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 (

以下3个命题， ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为 (

admin2015-07-04  54
问题 以下3个命题，
①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；
②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；
③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．
正确的个数为    (  )
选项 A、0
B、1
C、2
D、3
答案D
解析 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．可知当ni＞N时，恒有｜uni一A｜＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜xni—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一εni一A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，从而   ｜xn一A｜＜ε．
可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．
对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε>0，必定存在自然数N1，N2：
当2n＞N1时，恒有    ｜x2n一A｜＜ε；
当2n+1＞N2时，恒有 ｜x2n+1一A｜＜ε．
取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此．可知命题正确．故答案选择D．
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考研数学一

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