没A是n阶反对称矩阵，证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A*是对称矩阵；

admin2014-02-05 81

问题没A是n阶反对称矩阵，
证明：A可逆的必要条件是n为偶数；当n为奇数时，A^*是对称矩阵；

选项

答案按反对称矩阵定义：A^T=一A，那么｜A｜=｜A^T｜=｜—A｜=(一1)ⁿ｜A｜，即[1一(一1)ⁿ]｜A｜=0．若n=2k+1，必有｜A｜=0．所以A可逆的必要条件是n为偶数．因A^T=一A，由(A^*)^T=(A^T)^*有(A^*)^T=(A^T)^*=(一A)^*．又因(kA)^*=k^n-1A^*，故当n=2k+1时，有(A^*)^T=(一1)^2kA^*=A^*，即A^*是对称矩阵．

解析

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