没A是n阶反对称矩阵, 证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵;

admin2014-02-05  31

问题 没A是n阶反对称矩阵,
证明:A可逆的必要条件是n为偶数;当n为奇数时,A*是对称矩阵;

选项

答案按反对称矩阵定义:AT=一A,那么|A|=|AT|=|—A|=(一1)n|A|,即[1一(一1)n]|A|=0.若n=2k+1,必有|A|=0.所以A可逆的必要条件是n为偶数.因AT=一A,由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(一A)*.又因(kA)*=kn-1A*,故当n=2k+1时,有(A*)T=(一1)2kA*=A*,即A*是对称矩阵.

解析
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